La répartition des nombres premiers



Les nombres premiers ont une répartition logique, rationnelle, cartésienne, il ne peut en être autrement, c'est la condition sine qua none, pour que les mathématiques conservent leur dénomination de science exacte, c'est l'essence même de la théorie des nombres , comme on dit, "chaque chose a sa place et chaque place a sa chose" les nombres premiers, sont à la place qui leur est dévolue. Cela fait plus de 3000 ans, que les plus grands esprits, cherchent une explication au mode de fonctionnement des nombres premiers, comment s'opère leurs distribution au sein de l'ensemble des entiers naturels ?

Que nous dit la logique? La logique nous dit, que l'espacement entre les multiples d'un même nombre, est constant, invariable et infini, ceci dit appliquons la bonne vieille méthode de notre ami Ératosthène, et faisons un crible, mais uniquement pour 2 et 3 et analysons ce qu'il nous reste.

Nous pouvons constater, que 2 et 3 ont pour multiples communs, les multiples de 6, c'est évident, puisque 2x3=6 et que les seuls nombres, qui échappent à la division par 2 ou 3, sont les multiples de 6 - 1 et les multiples de 6 + 1. Pour facilité, je les ai nommé les (6n)+-1. Dans la figure ci-dessous une représentation de la décomposition des entiers naturels:

Nous pouvons affirmer, que les entiers naturels peuvent se décomposer en 3 ensembles distincts.

-Les multiples de 2,

-Les multiples de 3,

-Les nombres, qui ne sont divisibles ni par 2, ni par 3.

Quels sont ces nombres, que 2 et 3 ne divisent pas?

2 et 3 ont pour multiples communs, les multiples de 6; puisque 2 x 3 = 6, mais si l'on retranche ou l'on rajoute 1 aux multiples de 6, nous obtenons un nombre, qui n'est divisible ni par 2, ni par 3.

Donc logiquement, c'est à 6n+ ou -1, que nous trouverons tout les nombres premiers supérieurs à 3.

Cela se résume à ceci:

6n = multiples communs à 2 et 3

6n+-2 = multiples de 2

6n+-3 = multiples de 3

6n+-1= Premiers ou multiples de 6n+-1

Voyons ça plus en détails, si nous prenons 6 -1, nous obtenons 5 et si nous faisons 6 + 1, nous obtenons 7, nous pouvons constater que 5 et 7 sont premiers et jumeaux, mais que se passe-t-il si nous faisons: 5 x 5 ou 5 x 7 ou 7 x 7, nous obtenons les résultats suivant : 25; 35 et 49, puisque ces nombres ne sont multiples ni de 2, ni de 3, ils se positionnent forcément à 6n+ ou - 1, vérifions.

Pour le 25, nous obtenons 6 x 4 +1, pour le 35 le résultat est 6 x 6 -1, pour le 49 c'est : 6 x 8 + 1.

Il nous reste à examiner le cas du 1, puisque le 1 n'est multiple ni de 2, ni de 3, c'est forcément un 6n+-1 et cela se vérifie par 6 x 0 + 1 = 1, c'est là à mon avis, une preuve de plus que 1 est le premier des nombres premier, mais ça c'est une autre histoire.

La formule , que nous pouvons en déduire est la suivante:

(6n+-1) x (6n+-1) = (6n+-1)

Ceci dit, déterminons quels sont les écarts, qui séparent les 6n+-1, si nous en faisons la suite:

1; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 25; 29; 31; 35; 37; 41; 43; 47; 49....∞ La raison de cette suite c'est:

1+4+2+4+2+4+2+4+2+4+2+4+2+4+2+4+2....∞

Nous pouvons constater que les écarts séparant les 6n+-1 sont réguliers, mais que les écarts entre les nombres premiers, sont irréguliers du fait de la présence des nombres 25-35 et 49....etc , qui comme nous l'avons vu plus haut, ne sont rien d'autre que les produits des 6n+- 1, qui l'on précédé. Ainsi nous avons l'explication du pourquoi des écarts variables entre les nombres premiers et du pourquoi de la raréfaction des nombres premiers, car plus il y a de nombres premiers, plus il y a de multiples de 6n+-1 et plus il y a de multiples de 6n+-1, moins il y de nombres premiers.

Ils sont inversement proportionnels aux nombres de 6n+-1.

Nous pouvons rajouter que pour n de même valeur, 6n-1 et 6n+1, forment un couple de jumeaux si les deux sont premiers, mais lorsque l'un des eux est multiple, alors nous obtenons un couple de faux jumeaux.


Donc les nombres premiers supérieurs à 3, ne peuvent-être que de la forme 6n+ ou -1 et ne peuvent prendre place qu'a (6n)+-1 et par la même logique, le produit de deux (6n)+-1, ne peut que prendre place qu'à (6n)+-1, il ne peut en être autrement, étant donné, que les autres emplacements, sont occupés soit par un multiple de 2, soit par un multiple de 3.


Théorème de la répartition des nombres premiers


Énoncés:

Les nombres premiers supérieurs à 3, sont de la forme 6n+1 ou 6n-1

Les 6n+1 ou 6n-1 non premiers, sont le produit de la multiplication de deux 6n+1 ou 6n-1

A 6n+1 ou 6n-1 , il n'y a que des nombres premiers ou des produits de la multiplication de deux 6n+1 ou 6n-1.

Proposition 1:

Soit K un nombre entier positif, si K n'est ni multiple de 2, ni multiple de 3, alors K est de la forme 6n+1 ou 6n-1.


Démonstration:


Pour commencer faisons l'observation que 6 est un multiple commun à 2 et 3, que les nombres de la forme 6n-1, sont

exactement identiques aux nombres de la forme 6n+5.

Remarquez aussi que, étant donné un nombre, il n'y a que 6 possibilités : 6n ; 6n+1 ; 6n+2 ; 6n+3 ; 6n+4 et 6n+5. Les

nombres de la forme 6n, 6n+2 et 6n+4, sont multiples de 2 et les nombres de la forme 6n ; 6n+3 sont multiples de 3.

Alors, si K n'est multiple ni de 2,ni de 3, alors K est de la forme 6n+1 ou 6n+5, c'est-à-dire, de la forme 6n+1 ou 6n-1.

Corollaire: Si P est un nombre premier plus grand que 3, alors P est de la forme 6n+1 ou 6n-1.

Proposition 2 : Le produit de deux nombres entiers de la forme 6n+1 ou 6n-1, est un nombre de la forme 6n +1 ou 6n -1


Démonstration


Il y a 8 cas de figures possibles à vérifier:


(6x - 1) (6x - 1) = 6 (6x² - 1 - 1) + 1

(6x -1) (6x + 1) = 6 (6x² - 1 + 1) - 1

(6x + 1) (6x + 1) = 6 (6x² + 1 + 1) + 1

(6x + 1) (6x - 1) = 6 (6x² + 1 - 1) - 1

(6x - 1) (6y - 1) = 6 (6xy - x - y) + 1

(6x - 1) (6y + 1) = 6 (6xy + x - y) -1

(6x + 1) (6y + 1) = 6 (6xy + x + y) + 1

(6x + 1) (6y - 1) = 6 (6xy - x + y) -1


Corollaire: Si P et Q sont deux nombres premiers plus grands que 3, alors PQ sont de la forme (6n) + 1 ou (6n) - 1.


Démonstration


P et Q sont deux nombres premiers plus grand que 3, par le corollaire de la proposition 1, ils sont de la forme (6n) + 1

ou( 6n ) -1. Par la proposition 2, PQ et leurs produits sont de la forme (6n) + 1 ou (6n) - 1.


Proposition 3


Soit A, B et K des nombres entiers. Si K est de la forme (6n)+1 ou (6n)-1 et K = AB ; alors A et B sont aussi de la forme

(6n)+1 ou (6n)-1.


Démonstration :


Si K est de la forme (6n)+1 ou(6n)-1, alors K n'est multiple ni de 2, ni de 3. Par conséquent , si K = AB, alors A et B ne

sont multiples ni de 2, ni de 3. Par la proposition 1, A et B sont de la forme (6n)+1 ou (6n)-1.

Corollaire : Les nombres entiers positifs plus grand que 1 et de la forme (6n)+1 ou (6n)-1, sont soit des nombres

premiers, soit le produit de deux nombres entiers, eux aussi de la forme (6n)+1 ou (6n)-1. Ce corollaire est une

conséquence immédiate de la définition de nombre premier et de la proposition 3.